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    第二十四章首日竞赛

    2009年,适逢国际数学奥林匹克IMO举办50届,国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。

    在这场50周年庆典,出现了很多闻名世界的数学家。

    庆典结束后,则是正式比赛,来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。

    整个比赛持续一周时间。

    比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题,争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每个国家的参赛选手,都抱着为国争光的决心前来征战世界。

    3月15日,竞赛拉开帷幕

    IMO一共六道题,今天考三题,明天考三题,每题7分,满分是42分。每个竞赛日的竞赛时间为4.5个小时,可携带任何文具及作图工具,一切电子设备不被允许带入赛场。

    因为竞赛时间较长,各选手可自带食物饮料进场,可并携带不多于三本的参考资料。

    但是秦元清除了带了一些吃喝的,其他参考资料一本没带,因为按照以前的情况,参考资料基本上没有什么用的,出题人早已考虑到这些,要是参考资料能够找到解决办法,说明出题人的出题水平太烂了。

    这就如同国内考试,开卷考往往比闭卷考难得多。

    因为本国选手拿到题目,都已经是换成本国文字,所以选手拿到试卷,都不会存在任何语言文字的障碍。

    秦元清拿到试卷,只有三题,第一题是最简单的,要是连第一题都不会做,那么后面两题都不用考虑了。

    秦元清很冷静,第一道题最简单,是送分题,可是同样的,一不小心就变成了送命题。

    “1、n是一个正整数,a1,a2.....ak(k≥2)是{1,2,......,n}中的不同整数,并且n|ai(ai+1-1)对于所有i=1,2,.......,k-1都成立,证明:ak(a1-1)不能被n整除。”

    秦元清看了三遍题目,心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼,竟然暗设陷阱,一个不小心就会答错掉。

    秦元清开始作答,首先利用数学归纳法证明:对任意的整数i(2≤i≤k),都有被整除,得出当i=2时,由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开,最后得出,ak(a1-1)不能被n整除的结论。

    然后秦元清又看向第二道题。

    “△ABC外接圆的圆心为O,P、Q分别在线段CA、AB上,K、L、M分别是BP、CQ、PQ的中点,圆Г过K、L、M并且与PQ相切。证明:OP=OQ。”

    秦元清这一题审题完成,倒是觉得这一题比上一题容易一些,没有设陷阱。先是做了一个圆,然后化作△ABC,然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点,然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。最后作出圆Г。

    随后以直线PQ与圆Г相切,相切点M,然后通过弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于点K、M分别是BP、PQ的中点,所以KM∥BQ,从而得出∠QMK=∠AQP。

    因此得到∠MLK=∠AQP。

    同理,∠MKL=∠APQ。

    根据角的相等,得到△MKL∽△APO,从而得到MK/ML=AP/AQ

    因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点,所以得到KM=BQ/2,LM=CP/2,将此带入上式得BQ/CP=AP/AQ,将式子转为AP·CP=AQ·BQ。通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

    所以,得出结论OP=OQ。

    秦元清连检查都没有检查,将抽向的数学问题转为图像,这个是他擅长的地方,他有十全的把握证明。

    紧接着秦元清看向第三题,“3、S1,S2,S3,......是严格递增的正整数数列,并且它的子数列SS1、SS2、SS3,.....和SS1+1,SS2+1,SS3+1......都是等差数列。证明:S1,S2,S3......是一个等差数列。”

    看着这一题,秦元清微皱起眉头,这一题明显比前面两道题难得多,秦元清将已知条件稍微捋了一下,这一道题融合了等差数列、以及转换法。

    秦元清一步一步地展开,通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列,设Ssk=a+(k-1)d1,SSk+1=b+(k-1)d2(k=1,2......,a、b、d1、d2∈N+)。

    将问题转为函数、数列后,以Sk<Sk+1<Sk+1及{Sn}的单调性,知对任意的正整数k,有SSk<Ssk+1≤SSk+1。即a+(k-1)d1<b+(k-1)d2≤a+kd1

    因此a-b≤(k-1)(d2-d1)≤a+d1-b。由k的任意性知d2-d1=0,得到d2=d1。。。。。。

    当秦元清写下证明结论,摸了一下额头,发现已经冒汗了,轻轻地吐出一口浊气。

    随后秦元清站了起来,做了个交卷的手势。监考官走到他面前,将他的考卷装入文件袋密封。

    秦元清轻松自若的离开考场,毫无压力。既然作答了,那么就不会有错。

    当秦元清离开考场,才知道他是第一个交卷的,华夏奥数队的队员都还没交卷,其他国家的奥数队也都还没有一个交卷。

    “首日竞考感觉如何?”副领队看到秦元清,连忙问道。

    “一般般啦,很轻松!”秦元清潇洒地摆摆手:“还没有集训考试难,放心,42分跑不了!”

    副领队闻言顿时松了口气,在这一支华夏奥数队,秦元清是王牌存在,是压舱石,既然秦元清这么说,那说明今年的难度不大。

    “就是第一道题,也不知道哪一国出题的,设了个陷阱,一不小心就会做错。太缺德了,和我们这些高中生耍心眼!”秦元清吐槽地说道。

    然后秦元清就看到不远处,一个人高马大的白人看了过来,眼神不善,副领队连忙用手捂住秦元清的嘴,小声道:“听说第一道题是澳大利亚出题的,那人是澳大利亚奥数队的副领队!”

    秦元清无语。

    自己这是背后说人坏话,还被人家听到,这太伤人品了。

    不过一听是澳洲,顿时觉得这澳洲简直是缺德,他重生前澳洲就不知道哪根筋搭错了,和华夏抬杠着,导致网上骂声一片。现在,其他两道题都很正常,特别是最后一题出得很有水平,就第一道题却玩心眼,这澳洲真是脑袋不正常。

    秦元清就搞不明白,澳洲这样脑残,怎么有那么多华夏人移民澳洲,结果脑袋瓜也被影响,比如2020年年初那声名大噪的梁某研,态度蛮横无理,甚至还大喊救命,声称有人骚扰她,要不是有视频,还真的是有理说不清。被驱逐出境,竟然还要华夏人跟她道歉,报销机票,简直脑袋瓜生锈了。

    大概半个小时,有印度人走出考场,秦元清好奇道:“副领队,阿三的数学很强?”

    副领队说道:“那是自然,印度人的数学水平在世界范围内也能排上号,仅次于菲奖的拉马努金奖,就是以印度数学家拉马努金的名字命名。”

    “拉马努金这人是厉害,拉马努金猜想系列属于比较厉害的。”秦元清微微颔首。

    至于随后出来的是俄国选手,当初苏联时代,数学就非常的强,诞生了很多伟大的数学家,谢尔盖、德里费尔德等都获得菲奖,继承了大部分苏联遗产的俄国,在数学自然也是非常强的,比如格里戈里·佩雷尔曼更是破解了庞加莱猜想的猛人,因为他证明庞加莱猜想,不知道相关联的几千个数学猜想因此成了定理,可谓以一己之力推进几何学、拓扑学的历史进程。

    哪怕佩雷尔曼是怪人,不喜欢接受采访,不喜欢抛头露面,可是毫无疑问,佩雷尔曼绝对是当今世界最伟大的数学家之一。

    等到华夏奥数队的人员到齐,大家才一起回了酒店,没有人会去查答案,那只会干扰次日的比赛。

    秦元清回到主场,用电脑联网后查找世界数学强国,美利坚、欧洲、俄国、东瀛都属于世界数学强国,都诞生了不止一位菲奖获得者,而美利坚又是数学第一强国,不管是从大学数学专业排名,还是数学研究所、数学专业杂志等,都毫无争议是世界第一数学强国。

    而华夏,虽然这十年经常得到IMO金牌,但是却算不上数学强国,顶多算一个数学大国。

    秦元清又想到前几天在外面所见所闻,欧美人普通人计算能力糟糕非常,但是其教育又以培养孩子的兴趣,数学是一门讲究天赋、逻辑的学科,要求很高,没有数学天赋、逻辑思维不足,根本就不会进入数学大门,而那些有兴趣的人,因为是自己敢兴趣,往往自学能力很强,自己感兴趣的往往是事倍功半。

    同样的,数学思维的养成也非常重要。华夏是个人口大国,又是普及九年义务教育,追求的是公平、公正,这就导致需要数量庞大的教师队伍,对于华夏而言,首先是先满足量,最后才是质。这就导致教育过程中,是以填鸭式的教学方式,这样培养下来的学生考试成绩差不多哪里去,但是思维却是个问题。

    到了大学阶段,华夏大学生的数学能力与国外就体现出差距了,国外的数学天才能够从小得到很好的数学思维培养,厚积薄发下,大学阶段就展现了高超的能力。

    国外是精英教育,国内是平民教育,教育体制的差距,就导致了结果不一样。

    而国内的教育制度,又导致了国内培养了数以百万计的工程师,优质又廉价的工程师劳动力,以至于到了2018年左右,‘工程师红利’成为了一个新的热词。